En la vida real, las personas a menudo comparan a los humanos con las hormigas e incluso piensan que las hormigas son criaturas bidimensionales. Esto se debe a que las hormigas tienen una vista débil y básicamente dependen del olfato y el tacto para determinar la orientación, por lo que el mundo a los ojos de las hormigas es bidimensional y consiste en puntos y líneas simples. Pero las hormigas que vemos obviamente son tridimensionales, al menos no son una hoja de papel. Ante tales dudas, los científicos intentan utilizar la geometría para hacernos entender la diferencia entre dimensiones, por lo que aparecen modelos especiales, son el anillo de Möbius y la botella de Klein.
Nadie está familiarizado con el anillo de Mobius. Después de todo, el “anillo de Mobius” es una de las joyas más populares en los últimos años. La gente piensa que puede representar el amor eterno e infinito. Su método de producción es muy sencillo, cortamos un trozo de papel A4, recortamos un trozo de papel delgado, lo agarramos por los dos extremos y lo giramos 180°, y luego lo pegamos para hacer un anillo de Moebius simple. Todo bien. Pero otro modelo, la botella de Klein, no se puede hacer y solo puede existir en el modelado de programas de computadora. Resulta que no pertenece a nuestro mundo tridimensional, sino que proviene de un espacio tetradimensional superior.
Antes de profundizar en los misterios de los anillos de Möbius y las botellas de Klein, debemos comprender sus orígenes. De hecho, todos se originaron en la geometría matemática al principio, pero ahora se han convertido en una rama importante de la geometría y han tomado un nuevo nombre llamado “topología”.
Esta disciplina se desarrolló por primera vez en el siglo XIX y sus orígenes se remontan al siglo XVIII. Utilizado principalmente para estudiar modelos geométricos o ciencia espacial, la característica especial es la naturaleza de los gráficos topológicos, es decir, no importa cómo los doble, encoja o deforme, puede permanecer sin cambios, por lo que también se denomina “geometría de goma”.
Los gráficos estudiados por topología pueden ser muy confusos y la gente no puede entender por qué se estudian estos gráficos extraños. Aquí para explicar, en nuestro pensamiento inercial, todas las figuras que vemos están bajo la definición de geometría euclidiana, que es una apariencia “normal”.
Pero la topología salta fuera de esta definición en la mayor medida. Las geometrías o modelos tienen más grados de libertad aquí, por lo que se ven extraños o incluso más abstractos, lo cual está en línea con la geometría euclidiana que vemos. El mundo es completamente diferente. Por lo tanto, se puede decir que la topología es una teoría que pertenece al campo de la lógica del pensamiento puro. No deberíamos usar el pensamiento inercial para ver si estas figuras son significativas o no. Esto es un malentendido del pensamiento.
Desde la perspectiva del desarrollo de la topología y las definiciones relacionadas, esta disciplina es en realidad más como un juego de pensar. La mayoría de las veces, necesitas confiar en tu propia imaginación. Si solo lo miras con pensamiento inercial, entonces de hecho es un modelo geométrico muy absurdo. Pero si cierras los ojos e imaginas, encontrarás que es diferente a las matemáticas tradicionales, tiene números precisos o reglas conceptuales, por lo tanto, la topología tiene poca aplicación en la realidad, ocurre más a menudo a nivel del pensamiento.
El anillo de Möbius y la botella de Klein que se presentarán a continuación son objetos de investigación típicos de la topología, por lo que espero que cuando observe estas dos figuras, salga de las limitaciones del mundo intuitivo y no se centre en discutir al final. ¿Tiene sentido o no es razonable?
¿Qué es un anillo de Mobius?
El anillo de Möbius, también conocido como cinta de Möbius, fue descubierto en 1858 por el matemático alemán Möbius y Johann Listing. Es diferente del papel ordinario con dos caras, tiene una sola cara y su límite consiste en una curva cerrada. Si se coloca una hormiga en una hoja de papel ordinaria, la hormiga debe cruzar el “límite” del papel para llegar al otro lado, pero el “límite” desaparece mágicamente sobre el anillo de Mobius y la hormiga no necesita cruzar. Cualquier borde llegará al otro lado, incluso de vuelta al punto de partida.
El anillo de Möbius es relativamente simple de hacer, por lo que a menudo ha aparecido a la vista del público a lo largo de los años. Pero también se puede dividir en dos tipos diferentes bajo la subdivisión, que está determinada por la dirección en la que giras la cinta de papel. Girando hacia la izquierda obtendrás un anillo de Mobius para zurdos, y hacia la derecha obtendrás un anillo de Mobius para diestros. anillo de Mobius con la mano. Sabiendo si los comerciantes notarán esta característica al hacer anillos, puede usar esto para distinguir los anillos masculinos de los anillos femeninos. Después de todo, solo corresponde a la izquierda masculina y la derecha femenina.
Mucha gente pensará que no es solo un giro, para decirlo sin rodeos, es solo una nota, así que echemos un vistazo a la diferencia entre el anillo Mobius y el anillo común. Primero, usemos el recorte para ver cómo marcan la diferencia. Corta el lazo de papel normal a lo largo de la línea central y tendrás un lazo que tiene la misma circunferencia que el lazo de papel original pero de un ancho más angosto. Pero si cortas el anillo de Mobius a lo largo de la línea, la circunferencia del anillo de papel que obtienes es el doble del anillo de papel original. Si estás interesado, puedes cortarlo y probarlo.
Si dibuja dos líneas equidistantes en el círculo de Mobius y las corta, no solo obtendrá un bucle normal que tiene el doble de la circunferencia del círculo original y dos tercios más estrecho que el círculo original, sino también En su centro, un ” separado ” estrecho” se obtiene el círculo de Mobius, que es dos tercios más estrecho que el círculo original y cuyo perímetro es el mismo que el círculo original.
Algunas personas pueden preguntarse si este experimento de corte de papel puede probar que es diferente de los anillos ordinarios, pero ¿qué más se puede hacer? De los resultados de recorte anteriores, podemos ver que cuando lo recortamos en el mundo 3D, no podemos restaurarlo, sino que lo cortaremos de una nueva manera. Esta parte presenta un estado “no 3D”. Ninguna fuerza externa puede cambiar eso. Por lo tanto, se puede concluir que el anillo de Möbius es en realidad un objeto no tridimensional, y podemos hacerlo completamente porque se le colocan dos sistemas de coordenadas tridimensionales.
¿Es la botella de Klein en realidad un doble anillo de Mobius?
Después de comprender completamente el anillo de Mobius, podemos echar un vistazo a su versión mejorada de la “botella de Klein”. ¿Por qué dices esto, porque los matemáticos han demostrado que existe una conexión entre estos dos modelos. En el libro “Mathematical Wide-angle Mirror” del Sr. Tan Xiangbai, un matemático chino, se señala claramente que la botella de Klein es en realidad compuesto de dos molares Una combinación de anillos de Bius.
La botella de Klein fue descubierta por el matemático Felix Klein en 1882. En comparación con la hora de nacimiento del anillo de Möbius, la botella de Klein es más joven. La botella tampoco tiene límites, y toda la superficie es una superficie cerrada. Puede que no te imagines una superficie cerrada. De hecho, la superficie de una esfera es una superficie cerrada. Si alguien te pregunta, ¿la tierra tiene un límite? Debes estar muy enredado, hay sentimiento, pero no en términos esféricos. Dichos planos no direccionales no distinguen entre interior y exterior.
La botella no parece tener fondo, y el cuello es alargado, lo que parece estar conectado al fondo a través de la pared de la botella, pero no pasa a través del modelado por computadora. Si ponemos la hormiga en el anillo de Möbius de la botella de Klein, puede atravesar el cuello de la botella y subir desde el exterior de la botella hasta el interior de la botella. Pero todos sabemos que la botella de Klein es indistinguible, y esta analogía es para que todos la entiendan.
¿Por qué no se pueden hacer las botellas de Klein?
En la actualidad, algunas botellas de Klein vendidas por algunos comerciantes en el mercado pueden ver claramente que el cuello de la botella sobresale en la pared de la botella antes de llegar al fondo. Por lo tanto, de acuerdo con la definición de botella de Klein, estos son productos falsos y la botella de Klein real no se puede fabricar.
Primero echemos un vistazo a las propiedades del anillo de Möbius que se puede hacer.Se mencionó anteriormente que pertenece a un objeto no tridimensional, pero la tira de papel utilizada para fabricarlo es esencialmente bidimensional. La mayoría de los dibujos animados que veías cuando eras joven también eran bidimensionales, y los personajes en ellos eran tan delgados como hojas de papel, por lo que también los llamamos “personas de papel”. Entonces, el anillo de Möbius en realidad usa una transformación bidimensional para probar algunas teorías de tridimensionalidad.
Sin embargo, la botella de Klein ya pertenece al espacio de cuatro dimensiones en esencia, por lo que la botella de Klein que hicimos en el espacio tridimensional parece anodina y completamente inconsistente con su esencia. La naturaleza continua de la botella de Klein es la razón fundamental por la que no se puede fabricar. En la producción real, el cuello de la botella y la superficie de la pared de la botella se cruzarán inevitablemente, lo que provocará la interrupción de la continuidad. Por lo tanto, las botellas de Klein que hemos visto vendidas por los comerciantes hace tiempo que perdieron su continuidad y unilateralidad, y este tipo de botella es completamente inconsistente con la teoría de las botellas de Klein.
Por lo tanto, el punto donde el cuello de la botella y la pared de la botella se cruzan en el mundo tridimensional es que comparten una posición en el sistema de coordenadas tridimensional. Si se colocan en el espacio de cuatro dimensiones, no habrá intersección. Puedes intentar imaginarte levantando esa posición y dando la vuelta a la pared de la botella. Al igual que el ejemplo dado por los matemáticos para que nos sea más fácil entender el anillo de Möbius con líneas, si dibujas un 8 en el papel, entonces su posición central debe intersecarse.
Pero utilizando la topología, envuelva una banda elástica alrededor de una forma de 8, no hay intersección en ese punto, y puede recoger fácilmente la parte que está en el extremo superior. Es así como el anillo de Möbius pasa de ser un simple bidimensional a ser tridimensional.
Aunque el anillo de Möbius no es esencialmente un objeto tridimensional, al menos parte de él es tridimensional, por lo que podemos hacer un modelo de acuerdo con su definición. Una botella de Klein real debe colocarse en un espacio de cuatro dimensiones para reflejar las características de una superficie cerrada continua.
Es difícil describir espacios multidimensionales en detalle.
De hecho, la imaginación humana ya es muy rica. Nunca hemos estado limitados por lo que vemos y pensamos hoy. Por lo tanto, hemos estado buscando vida extraterrestre y explorando el universo multidimensional. La cuestión de si existe la multidimensionalidad la planteó Einstein en su teoría de la relatividad hace un siglo, como lo expresamos nosotros, “la materia le dice al espacio-tiempo cómo doblarse, el espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse”, en esta teoría el tiempo y el espacio se intersecan, no Líneas paralelas tradicionales en el sentido. Si te interesa, puedes aprender sobre el espacio-tiempo curvo descrito en la relatividad general, que definitivamente te abrirá la puerta a un nuevo mundo.
Es cierto que el espacio multidimensional debe existir, pero su apariencia está más allá de nuestra cognición.La comprensión del espacio dimensional también es difícil de escapar de las limitaciones del pensamiento existente. Todos nos sentimos mareados cuando miramos modelos topológicos, y mucho menos cuando describimos espacios de alta dimensión.
Epílogo
Al final de “El problema de los tres cuerpos”, la civilización del cantante en el universo arrojó una lámina bidireccional al sistema solar, que convirtió fácilmente nuestro sistema solar tridimensional en una imagen bidimensional, y presionó directamente todos los esferas en él Un pedazo de papel, este es el llamado golpe de reducción de dimensionalidad.
Entonces, la razón por la que no podemos hacer una botella de Klein es en realidad algo similar al golpe de reducción de dimensionalidad, ¡probablemente porque el espacio de cuatro dimensiones limita el espacio tridimensional! Si no podemos construir un modelo del espacio de cuatro dimensiones y entender el espacio de cuatro dimensiones visualmente, entonces la botella de Klein siempre será una “botella” de aspecto extraño a nuestros ojos.
